WikiSort.ru - Не сортированное

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона^[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ интерполяционным многочленом второй степени ${\displaystyle p_{2}(x)}$ , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ :

${\displaystyle {\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\int \limits _{a}^{b}{p_{2}(x)}dx}={\frac {b-a}{6}}{\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)},}$

где ${\displaystyle f(a)}$ , ${\displaystyle f((a+b)/2)}$ и ${\displaystyle f(b)}$  — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность

При условии, что у функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ существует четвёртая производная, погрешность ${\displaystyle E(f)}$ , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:

${\displaystyle E(f)=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}{f^{(4)}(\zeta )},\ \ \ \zeta \in [a,b].}$

В связи с тем, что значение ${\displaystyle \zeta }$ зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\max \limits _{x\in [a,b]}{\left|f^{(4)}(x)\right|}.}$

Представление в виде метода Рунге-Кутты

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&&&\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&&\\1&-1&2&\\\hline &{\frac {1}{6}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{6}}\end{array}}}$

Составная формула (формула Котеса)

Для более точного вычисления интеграла, интервал ${\displaystyle [a,b]}$ разбивают на ${\displaystyle N=2n}$ отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждой соседней паре из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n}f(x_{2j-1})+f(x_{N})\right],}$

где ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$  — величина шага, а ${\displaystyle x_{j}=a+jh}$  — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ разбит на ${\displaystyle N}$ отрезков) в виде

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{N-1})+f(x_{N}){\bigg ]}.}$

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

${\displaystyle {\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{k=1,2}^{N-1}\left[f(x_{k-1})+4f(x_{k})+f(x_{k+1})\right]}$

где ${\displaystyle k=1,2}$ означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум.

Общая погрешность ${\displaystyle E(f)}$ при интегрировании по отрезку ${\displaystyle [a,b]}$ с шагом ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}=h}$ (при этом, в частности, ${\displaystyle x_{0}=a}$ , ${\displaystyle x_{N}=b}$ ) определяется по формуле^[2]:

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(b-a)}{2880}}h^{4}\max \limits _{x\in [a,b]}|f^{(4)}(x)|}$ .

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(b-a)}{288}}h^{3}\max \limits _{x\in [a,b]}|f^{(3)}(x)|}$ .

См. также

• Метод прямоугольников
• Метод трапеций
• Список квадратурных формул

Примечания

Литература

• Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам. М.: Логос, 2004. 184 с. ISBN 5-94010-286-7
• Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. М.: Интуит, Бином, 2006. 523 с. ISBN 5-94774-542-9