WikiSort.ru - Не сортированное

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции ${\displaystyle u(t)}$ функцию ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )}}$ в той же области.

Преобразование Гильберта может быть определено в смысле главного значения интеграла по Коши:

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,}$

или, более явно:

${\displaystyle H(u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau .}$

При двукратном применении преобразования Гильберта функция меняет знак:

${\displaystyle H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),}$

при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )}}$ , ортогональную функции ${\displaystyle u(t)}$ ^[1].

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt}$ — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразование

${\displaystyle H^{-1}=-H.}$

См. также

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Преобразование Гильберта-Хуанга

Примечания