WikiSort.ru - Не сортированное

Стохастический интеграл — интеграл вида ${\displaystyle \int f(t)dy(t)}$ , где ${\displaystyle {y(t),t\in T}}$  — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм ${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=0}^{N}f(\tau _{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})]}$ . Интеграл получается, как и у интеграла Стилтьеса, переходом к пределу: ${\displaystyle I=\int f(t)dy(t)=\lim S_{N}}$ .

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t)}$ , где ${\displaystyle {\omega (t),t\in T}}$  — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал ${\displaystyle [0;T]}$ точками ${\displaystyle 0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{N+1}=T}$ на ${\displaystyle N}$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: ${\displaystyle I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ , или ${\displaystyle I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ . Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: ${\displaystyle E[I_{1}-I_{0}]=\lim \sum _{i=1}^{N}E\left([\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}\right)=T}$ . Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру ${\displaystyle \lambda }$ сумму интегралов ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{1}}$ следующей формулой: ${\displaystyle I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ , при ${\displaystyle 0\leqslant \lambda \leqslant 1}$ . Интеграл ${\displaystyle I_{0}}$ соответствует интегралу Ито, а ${\displaystyle I_{0,5}}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид: ${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f\left({\frac {t_{i+1}+t_{i}}{2}}\right)[y(t_{i+1})-y(t_{i})]}$ .

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид: ${\displaystyle \int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})]}$ . Его основные свойства: ${\displaystyle E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t)}$ , ${\displaystyle cov[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t)}$ .

Интеграл Винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число ${\displaystyle \alpha }$ . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции ${\displaystyle x(t,\alpha )}$ . Интеграл вида ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )dt}$ называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )dt=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)dx(t,\alpha )dt}$ . Его основные свойства: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )dt=0}$ , ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )dt\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt}$ .

См. также

• Винеровский процесс
• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Литература

• К. Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича, под ред. Н. С. Райбмана, «Мир», М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.
• Н. Винер Нелинейные задачи в теории случайных процессов, М., ИЛ, 1961.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.