WikiSort.ru - Не сортированное

Интеграл Римана — Стилтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}}$

рассматривается предел сумм

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},}$

где интегрирующая функция ${\displaystyle j(x)}$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)^[1]. Если ${\displaystyle j(x)}$ непрерывно дифференцируема, то он выражается через обычный интеграл:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx}$ (если последний существует).

Применения

Интеграл Римана-Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана-Стилтьеса^[2], всякая абсолютно монотонная при ${\displaystyle x<0}$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана-Стилтьеса^[3], всякая аналитическая функция в круге ${\displaystyle |z|<1}$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана-Стилтьеса^[4].

Примечания

Литература

• У. Рудин Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.