WikiSort.ru - Не сортированное

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a)+E(f),\qquad E(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(b-a\right)^{3}.}$

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12n^{2}}}\max _{x\in [a,b]}\left|f''(x)\right|,{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}={\frac {nh^{3}}{12}}.}$

Составная формула Рудя

Если отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}(x_{i+1}-x_{i})=}$

${\displaystyle ={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {f(x_{i})}{2}}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).}$

${\displaystyle x_{j}=a+jh,h=(b-a)/N,N-}$ четное

Формула Олега Ветра

В случае равномерной сетки

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f_{i}\right)+E_{n}(f),}$

${\displaystyle E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(b-a)h^{2}.}$

где ${\displaystyle h}$ — шаг сетки.

Свойства

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.