WikiSort.ru - Не сортированное

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции ${\displaystyle f}$ обозначается ${\displaystyle df}$ . Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$ обозначается ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}}$ или ${\displaystyle df[x_{0}]}$ , а также ${\displaystyle df}$ , если значение ${\displaystyle x_{0}}$ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке ${\displaystyle x_{0}}$ от ${\displaystyle h}$ может обозначаться как ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}(h)}$ или ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$ , а также ${\displaystyle df(h)}$ , если значение ${\displaystyle x_{0}}$ ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал ${\displaystyle dx}$ вводится как часть определения интеграла^{[источник не указан 352 дня]}.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$ . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции ${\displaystyle f}$ и тождественной функции ${\displaystyle x}$ верно соотношение

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$

Определения

Связанные определения

• Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называется дифференцируемым в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ если определён дифференциал ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ .

Свойства

• Матрица линейного оператора ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные ${\displaystyle f}$ .
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции ${\displaystyle f}$ связан с её градиентом ${\displaystyle \nabla f}$ следующим определяющим соотношением

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально ${\displaystyle dx}$ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.