WikiSort.ru - Не сортированное

Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно n = 1 + k(σ(n) − n − 1), где σ(n) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа). Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которые являются 1-гиперсовершенными.

Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в OEIS), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).

Список гиперсовершенных чисел

Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.

Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число, а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа, тогда p²q k-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k>1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.

Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что q = pi — p + 1 — простое, n = pi — 1q является k-гиперсовершенным. В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:

Гипердефицитность

Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.

Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как

   δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)

Число n называется k-гипернедостаточным, если δ_k(n) > 0.

Заметим, что при k = 1 получается δ₁(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δ_k(n) = 0.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δ_k-j(n) = -δ_{k + j}(n) для хотя бы одного j>0.

Ссылки

• Handbook of number theory I. — Dordrecht : Springer-Verlag, 2006. — P. 114. — ISBN 1-4020-4215-9.

Дальнейшее чтение

Ссылки

• MathWorld: Hyperperfect number
• A long list of hyperperfect numbers under Data

Проект:Числа
	В Википедии есть портал «Математика» Эта статья тематически связана с Проектом:Числа, целью которого является создание качественных и информативных статей на темы, связанные с числами. Если вы хотите помочь проекту, то можете отредактировать статью, к которой относится это обсуждение, или посетить страницу проекта, где сможете, помимо прочего, присоединиться к проекту и принять участие в его обсуждении.
???	Эту статью ещё никто не оценил по шкале оценок статей Проекта:Числа.
Чем помочь: Статьи к созданию и доработке