WikiSort.ru - Не сортированное

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии^[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

${\displaystyle k^{2}+2k\sum _{l=1}^{k-1}l=k^{2}+2k{\frac {k(k-1)}{2}}=k^{3}}$

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

${\displaystyle k\sum _{l=1}^{n}l=k{\frac {n(n+1)}{2}}}$

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}k{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\sum _{k=1}^{n}k=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$