Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.
Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако Жан-Пьер Кахане[en] рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.[1]
В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).
номер | Сверхсоставное | разложение на простые |
число делителей |
разложение на |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | ||
2 | 2 | 2 | ||
3 | 4 | 3 | ||
4 | 6 | 4 | ||
5 | 12 | 6 | ||
6 | 24 | 8 | ||
7 | 36 | 9 | ||
8 | 48 | 10 | ||
9 | 60 | 12 | ||
10 | 120 | 16 | ||
11 | 180 | 18 | ||
12 | 240 | 20 | ||
13 | 360 | 24 | ||
14 | 720 | 30 | ||
15 | 840 | 32 | ||
16 | 1260 | 36 | ||
17 | 1680 | 40 | ||
18 | 2520 | 48 | ||
19 | 5040 | 60 | ||
20 | 7560 | 64 | ||
21 | 10080 | 72 | ||
22 | 15120 | 80 | ||
23 | 20160 | 84 | ||
24 | 25200 | 90 | ||
25 | 27720 | 96 | ||
26 | 45360 | 100 | ||
27 | 50400 | 108 | ||
28 | 55440 | 120 | ||
29 | 83160 | 128 | ||
30 | 110880 | 144 | ||
31 | 166320 | 160 | ||
32 | 221760 | 168 | ||
33 | 277200 | 180 | ||
34 | 332640 | 192 | ||
35 | 498960 | 200 | ||
36 | 554400 | 216 | ||
37 | 665280 | 224 | ||
38 | 720720 | 240 |
В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.
По основной теореме арифметики каждое натуральное число имеет единственное разложение на простые:
где простые, и степени положительные целые числа. Число делителей числа можно выразить следующим образом:
Таким образом, для сверхсоставного числа выполняется следующее
В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.
Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.
Существуют постоянные a и b, обе больше, чем 1, такие, что
Где обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных .
Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдешем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас[en] в 1988 году.
Известно также, что
и
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .