WikiSort.ru - Не сортированное

Слегка́ избы́точное число́, или квазисоверше́нное число́ (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») — избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа.

До настоящего времени (5 ноября 2018 года) не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора, впервые попытавшегося решить эту проблему, математики не могут доказать, что слегка избыточных чисел не существует. Известно лишь, что (если слегка избыточные числа существуют) они должны быть больше 10³⁵ и иметь не менее 7 различных простых делителей.

Необходимое условие

Сумму собственных делителей ${\displaystyle S}$ натурального числа ${\displaystyle x}$ можно найти, отняв от суммы всех делителей исходное число.

${\displaystyle S(x)=\sigma (x)-x}$ .

По определению для слегка избыточных чисел ${\displaystyle S(x)=x+1}$ . Тогда ${\displaystyle \sigma (x)=2x+1}$  — нечётное. Значит, в произведении

${\displaystyle \sigma (x)=(1+p_{1}+p_{1}^{2}+\ldots +p_{1}^{k_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^{2}+\ldots +p_{2}^{k_{2}})\ldots (1+p_{n}+p_{n}^{2}+\ldots +p_{n}^{k_{n}}),}$ где ${\displaystyle x=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{n}^{k_{n}},}$ все множители нечётные.

Для нечётного ${\displaystyle p_{i}}$ сумма ${\displaystyle 1+p_{i}+p_{i}^{2}+\ldots +p_{i}^{k_{i}}}$ будет нечётной только при чётном ${\displaystyle k_{i}}$ .

Единственное чётное простое число — это 2. Соответствующая сумма ${\displaystyle 1+2+2^{2}+\ldots +2^{k}}$ всегда нечётна.

Слегка избыточное число ${\displaystyle x}$ является либо полным квадратом числа, либо удвоенным квадратом числа.

См. также

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка недостаточные числа
• Совершенные числа

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 1 ноября 2011 года.