В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.
Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.
Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 109, нет[1].
Определения
Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.
Через биномиальные коэффициенты
Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению
где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:
Через числа Бернулли
Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли Bp−3[3][4][5]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.
Через иррегулярные пары
Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой[6][7].
Через гармонические числа
Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что[8]
то есть числитель гармонического числа делится на p3.
Поиск и текущее состояние
Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде[9]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году[10]. В то время вплоть до 1,2⋅107 не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух[11]. Позднее граница была поднята до 2⋅108 Макинтошем (McIntosh) в 1995 году[4], а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅108[12]. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅109 так и не нашли простых чисел Вольстенхольма[13].
Ожидаемое количество
Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется
Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда Wp ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток Wp по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p[4].
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Cook, J. D. Binomial coefficients. Проверено 21 декабря 2010. Архивировано 29 января 2013 года.
- ↑ Clarke & Jones, 2004, p. 553
- 1 2 3 McIntosh, 1995, p. 387.
- ↑ Zhao, 2008, p. 25
- ↑ Johnson, 1975, p. 114.
- ↑ Buhler et al. (1993), p. 152.
- ↑ Zhao, 2007, p. 18.
- ↑ Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Selfridge & Pollack, 1964, p. 97 (см. ).
- ↑ Ribenboim, 2004, p. 23.
- ↑ Zhao, 2007, p. 25.
- ↑ Trevisan & Weber (2001), p. 283–284.
- ↑ McIntosh & Roettger (2007), p. 2092.
Литература
- Selfridge, J. L. & Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society Т. 11: 97
- Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants", Mathematics of Computation Т. 29 (129): 113–120, <http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf> арх.
- Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R. & Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million", Mathematics of Computation Т. 61 (203): 151–153, <http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf> арх.
- McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem", Acta Arithmetica Т. 71: 381–389, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf> арх.
- Trevisan, V. & Weber, K. E. (2001), "Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem", Matemática Contemporânea Т. 21: 275–286, <http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1> арх.
- Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 арх.
- Clarke, F. & Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials", Bulletin of the London Mathematical Society Т. 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194, <http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf> арх.
- McIntosh, R. J. & Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes", Mathematics of Computation Т. 76: 2087–2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2, <http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf> арх.
- Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p5 variations of Lucas' theorem", Journal of Number Theory Т. 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005, <http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf> арх.
- Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums", International Journal of Number Theory Т. 4 (1): 73–106, <http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf> арх.
- Krattenthaler, C. & Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics Т. 3
- Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal Т. 1: 46–49, <https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46>
- Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics Т. 5: 35–39, <https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35#v=onepage&q&f=false>
Ссылки
- Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — из справочника простых чисел
- McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 e-mail to Paul Zimmermann
- Bruck, R. Wolstenholme’s Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
- Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — интересное наблюдение, связанное с простыми числами Вольстенхольма.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .