В теории чисел числами Перрена называются члены линейной рекуррентной последовательности:
и
Последовательность чисел Перрена начинается с
Эта последовательность была упомянута Эдуаром Люка́ (Édouard Lucas) в 1876-м. В 1899-м ту же самую последовательность использовал в явном виде Перрен. Наиболее глубокое изучение этой последовательности было сделано Адамсом (Adams) и Шанксом (Shanks) (1982).
Производящей функцией чисел Перрена является
Последовательность чисел Перрена может быть записана в терминах степени корней характеристического уравнения
Это уравнение имеет три корня. Один из этих корней p вещественный (известен как пластическое число). Используя его и два сопряженных комплексных корня q и r, можно выразить число Перрена аналогично формуле Бине для чисел Люка:
Поскольку абсолютные значения комплексных корней q и r меньше 1, степени этих корней будут стремиться к 0 при увеличении n. Для больших n формула упрощается до
Эта формула может быть использована для быстрого вычисления чисел Перрена для больших n. Отношение последовательных членов последовательности Перрена стремится к p ≈ 1.324718. Эта константа играет ту же роль для последовательности Перрена, что и золотое сечение для чисел Люка. Аналогичная связь существует между p и последовательностью Падована, между золотым сечением и числами Фибоначчи, а также между серебряным сечением и числами Пелля.
Из формул Бине мы можем получить формулы для G(kn) в терминах G(n−1), G(n) и G(n+1). Мы знаем, что
Что дает нам систему из трех линейных уравнений с коэффициентами из поля разложения многочлена . Вычислив обратную матрицу, мы можем решить уравнения и получить . Затем мы можем возвести в степень k все три полученных значения и посчитать сумму.
Пример программы в системе Magma:
P<x> := PolynomialRing(Rationals()); S<t> := SplittingField(x^3-x-1); P2<y> := PolynomialRing(S); p,q,r := Explode([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]); Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1); T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3); v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]); [p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]];
Положим . В результате решения системы получим
Число 23 возникает в этих формулах как дискриминант многочлена, задающего последовательность ( ).
Это позволяет вычислять n-ое число Перрина в арифметике целых чисел, используя умножений.
Было доказано, что все простые p делят P(p). Обратно, однако, неверно — некоторые составные числа n могут делить P(n), такие числа называются псевдопростыми числами Перрена.
Вопрос о существовании псевдопростых чисел Перрена был рассмотрен самим Перреном, но было неизвестно, существуют они или нет, пока Адамс (Adams) и Шанкс (Shanks) (1982) не обнаружили наименьшее из них, 271441 = 5212. Следующим стало . Известно семнадцать псевдопростых чисел Перрина, меньших миллиарда;[1] Джон Грантам (Jon Grantham) доказал[2], что имеется бесконечно много псевдопростых чисел Перрина.
Числа Перрина, являющиеся простыми, образуют последовательность:
Вайсштайн нашел вероятно простое число Перрена P(263226) с 32147 знаками в мае 2006 года.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .