Числа Мерсе́нна — числа вида , где — натуральное число. Названы в честь французского математика Маре́на Мерсенна, исследовавшего их свойства в XVII веке.
Числа Мерсенна при образуют последовательность[1]:
Эти числа примечательны тем, что некоторые из таких чисел являются простыми при больших значениях .
Для всех справедливо следующее: если составное, , то и тоже составное, что следует из разложения:
Отсюда сразу следует: число является простым, только если число также простое. Обратное утверждение в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является .
Любой делитель составного числа для простого имеет вид , где — натуральное число (это является следствием малой теоремы Ферма).
Простые числа Мерсенна тесно связаны с совершенными числами. Евклид показал, что число вида , где число Мерсенна — простое, является совершенным. Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа исчерпываются этой формулой. (Что касается нечётных совершенных чисел, то до сих пор ничего неизвестно об их существовании.)
Для всех простых чисел вида показатель степени также всегда является простым числом, поэтому особо изучаются числа Мерсенна с простым показателем (в некоторых работах только такие числа считаются числами Мерсенна). Эта последовательность начинается так[2]:
Показатели известных простых чисел Мерсенна образуют последовательность[3][4]:
Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным алгоритмом проверки на простоту чисел Мерсенна — тестом Люка — Лемера. Поэтому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые больши́е известные простые числа[5]. Также простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов псевдослучайных чисел с большими периодами[6], таких как вихрь Мерсенна.
Самым больши́м известным простым числом (на январь 2019 года) является число Мерсенна , найденное 7 декабря 2018 года Патриком Лярошем в рамках проекта добровольных вычислений GIMPS. Десятичная запись числа содержит 24 862 048 цифр[7].
Всего на декабрь 2018 года известно 51 простое число Мерсенна, при этом порядковые номера достоверно установлены только у первых 47 чисел. В частности, неизвестно, существуют ли другие простые числа Мерсенна, меньшие известного рекордного. Примечательно, что 45-е простое число Мерсенна было найдено на две недели позднее 47-го известного простого числа Мерсенна , а 46-е известное простое число Мерсенна было найдено только через год.
За нахождение простого числа Мерсенна проектом GIMPS в 2009 году была получена премия в 100 тыс. долларов США, назначенная сообществом Electronic Frontier Foundation за нахождение простого числа, десятичная запись которого содержит не менее 10 миллионов цифр[источник не указан 49 дней].
Двойное число Мерсенна[en]* — число вида . На январь 2019 года известны только 4 простых числа такого вида (при ).
Числа Каталана — Мерсенна[en] — это последовательность чисел, начинающихся с 2 и получающихся путём применения функции к предыдущему члену . Эта последовательность начинается так:
Каталан предполагал, что эти числа просты «вплоть до некоторого предела».
Обобщённое число Мерсенна — число вида:
Такое обобщение связано с тем, что можно представить в виде суммы первых членов возрастающей геометрической прогрессии:
иными словами, числа Мерсенна являются частным случаем обобщенных чисел Мерсенна при . При некоторых значениях и обобщённые числа Мерсенна являются простыми, например, , , , , , , и ряд других.
Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна и неизвестна плотность их распределения во множестве натуральных чисел.
Неизвестно, существуют ли простые двойные числа Мерсенна при .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .