WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраические свойства

• Каждая степень простого числа делится только на одно простое число.
• Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна ${\displaystyle \pi (x)}$ — плотности простых чисел с точностью до ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$ .
• Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pⁿ (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pⁿZ) является циклической.
• Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).

Комбинаторные свойства

Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является маленьким^[en] в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством.

Свойства делимости

Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ₀) и (σ₁) от степени простого числа можно вычислить по формулам:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pⁿ является n-почти простыми^[en]. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pⁿ быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pⁿ должно быть больше 10¹⁵⁰⁰ и n должен быть больше 1400.