Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел называют дружественной, если:
где — делители числа , — делители числа .
Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.
Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.
Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:
В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил, её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.
Ниже приведены все пары дружественных чисел вплоть до 1 043 096
Пары дружественных чисел образуют последовательность[1]:
Если для натурального числа все три числа:
являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел.
Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.
Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.
Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел[2]. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.
Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.
Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.
|deadlink=
(справка)Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .