WikiSort.ru - Не сортированное

Нерешённые проблемы математики: Чему равно наименьшее число Ризеля?

В математике число Ри́зеля — нечётное натуральное число k, для которого целые числа вида k·2ⁿ − 1 составные для всех натуральных чисел n. Другими словами, когда k — число Ризеля, все элементы множества ${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}$ составные. В 1956 году Ханс Ризель (швед. Hans Riesel) доказал, что существует бесконечное число целых чисел k таких, что k·2ⁿ − 1 является составным для любого целого n. Он показал, что этим свойством обладает число 509 203, а также 509 203 плюс любое натуральное число, умноженное на 11 184 810^[1]. То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показано нахождением покрывающего множества простых чисел, на которые будет делиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньше одного миллиона имеют следующие покрывающие множества:

• 509 203·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 762 701·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 777 149·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 790 841·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 992 077·2ⁿ − 1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля. Так как ни для одного числа k < 509 203 не найдено покрывающее множество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числом Ризеля. Однако, по состоянию на февраль 2018 года для 49 значений k < 509 203 последовательность содержит только составные числа для всех проверенных значений n. Вот они: 2293, 9221, 23 669, 31 859, 38 473, 46 663, 67 117, 74 699, 81 041, 93 839, 97 139, 107 347, 121 889, 129 007, 143 047, 146 561, 161 669, 192 971, 206 039, 206 231, 215 443, 226 153, 234 343, 245 561, 250 027, 315 929, 319 511, 324 011, 325 123, 327 671, 336 839, 342 847, 344 759, 362 609, 363 343, 364 903, 365 159, 368 411, 371 893, 384 539, 386 801, 397 027, 409 753, 444 637, 470 173, 474 491, 477 583, 485 557, 494 743.

В проекте добровольных распределённых вычислений PrimeGrid для кандидатов на числа Ризеля рассчитываются значения последовательностей k·2ⁿ − 1 для всех натуральных n, начиная с 1. Если в такой последовательности оказывается простое число, то этот кандидат исключается из рассмотрения. С марта 2010 г. по февраль 2018 г. из кандидатов в числа Ризеля были исключены 15 чисел ^[2][3].

Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и числом Серпинского, например 143 665 583 045 350 793 098 657^[4].

См. также

• Экспериментальная математика
• Открытые математические проблемы
• BOINC
• Числа Мерсенна

Примечания

Литература

• Riesel, Hans. Några stora primtal (швед.) // Elementa. — 1956. — Bd. 39. — S. 258-260.
• PrimeGrid’s The Riesel Problem (англ.). Проверено 17 сентября 2012. Архивировано 31 октября 2012 года.
• Problem 29.- Brier Numbers (англ.). Проверено 17 сентября 2012. Архивировано 31 октября 2012 года.
• Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. — Берлин: Springer-Verlag, 2004. — 120 с. — ISBN 0-387-20860-7.
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94457-5.