WikiSort.ru - Не сортированное

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона^[en] — это простое число ${\displaystyle p}$ , такое, что ${\displaystyle p^{2}}$ делит ${\displaystyle (p-1)!+1}$ , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle (p-1)!+1}$ .

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅10¹³.^[1]

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).^[2]

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p - число Вильсона тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}}$ .

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.^[3][4][5]

Проект распределённых вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона.^[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.^[7]

Обобщения

См. также

• Простое число Вифериха
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вольстенхольма
• PrimeGrid

Примечания

Ссылки

• N. G. W. H. Beeger (1913–1914). “Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²)”. The Messenger of Mathematics. 43: 72—84.
• Karl Goldberg (1953). “A table of Wilson quotients and the third Wilson prime”. J. London Math. Soc. 28 (2): 252—256. DOI:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
• Paulo Ribenboim. The new book of prime number records. — Springer-Verlag, 1996. — P. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
• Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance (1997). “A search for Wieferich and Wilson primes”. Math. Comput. 66 (217): 433—449. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00791-6. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
• Richard E. Crandall. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer-Verlag, 2001. — P. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
• Erna H. Pearson (1963). “On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²)” (PDF). Math. Comput. 17: 194—195.

Ссылки

• The Prime Glossary: Wilson prime
• Weisstein, Eric W. Wilson prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Status of the search for Wilson primes
• Wilson Quotients for composite moduli
• On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson