WikiSort.ru - Не сортированное

Треугольное число — это число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника (см. рисунок). Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.

Последовательность треугольных чисел ${\displaystyle T_{n}}$ для ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства

• Формулы для n-го треугольного числа:
  • ${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ;
  • ${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\dots +(n-2)+(n-1)+n=\sum _{j=1}^{n}j}$ ;
  • ${\displaystyle T_{n}={n+1 \choose 2}}$  — биномиальный коэффициент.

Например, 1953 — это треугольное число: ${\displaystyle T_{63}=({\frac {63-1}{2}})\cdot 63=1953}$

• Рекуррентная формула для n-го треугольного числа:

  ${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+n}$ .

• Сумма двух последовательных треугольных чисел — это полный квадрат, то есть

  ${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=n^{2}}$ .

Например

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

• Если ${\displaystyle n}$ точек попарно соединить отрезками, то число отрезков будет выражаться треугольным числом:

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

К примеру, если у нас имеется 4 объекта, то мы сможем построить только ${\displaystyle 4\cdot 3/2=6}$ одиночных связей между объектами.

• Сумма m-1 членов ряда треугольных чисел ${\displaystyle {\frac {m^{3}-m}{6}}}$ :

${\displaystyle S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6}}}$ .

• Каждое чётное совершенное число является треугольным^[1].
• Любое целое неотрицательное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировано в 1638 году Ферма в письме к Мерсенну, а доказано в 1796 году Гауссом.
• Целое число m является треугольным тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle 8m+1}$ является квадратным.
• Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов n первых натуральных чисел.

Обобщения

Треугольные числа являются частным случаем фигурных чисел.

См. также

• Фигурные числа
• Квадратное число
• Треугольное квадратное число
• Тетраэдрические числа
• Треугольник Паскаля
• Пирамида Паскаля
• Задача о числе касаний

Примечания

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.