Эрми́това (или самосопряжённая) ма́трица — квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой: . То есть, для любого столбца и строки справедливо равенство
или
где — эрмитово сопряжение
Например, матрица
является эрмитовой.
Соответственно, антиэрмитовой матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству , или .
Эрмитова матрица получила своё название после того, как Шарль Эрмит в 1855 году показал, что матрицы этой формы, также как и симметричные матрицы, имеют вещественные собственные значения.
Эрмитова матрица является нормальной.
Диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны.
Вещественная эрмитова матрица (то есть та, все элементы которой — вещественные числа) является симметричной:
Аналогично, чисто мнимая эрмитова матрица (с элементами без вещественных составляющих) является кососимметричной.
Определитель эрмитовой матрицы — вещественное число.
Сумма двух эрмитовых матриц является эрмитовой.
Обратная к эрмитовой матрица также эрмитова, если существует.
Произведение двух эрмитовых матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда они коммутируют друг с другом, то есть если .
У эрмитовой матрицы все собственные значения вещественны, а собственные векторы могут быть собраны в ортонормированную систему.
Собственные векторы эрмитовой матрицы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Но если одному собственному значению отвечают два собственных вектора, то они не обязательно ортогональны между собой, но ортогональны всем другим собственным векторам, отвечающим другим собственным значениям.
Жорданова форма эрмитовой матрицы диагональна.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .