WikiSort.ru - Не сортированное

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций ${\displaystyle X_{1},...,X_{m}}$ от переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ :

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}X_{1}=f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\X_{2}=f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\X_{m}=f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{array}}\right\}\qquad \qquad (S)}$

Всякая целая рациональная связь между ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ , если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ . Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ , которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ . Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ . <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ , через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>^[5]

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры ${\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ , где ${\displaystyle K}$  — порождённое ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле ${\displaystyle k\subset K\subset k(x_{1},\dots ,x_{n})}$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть ${\displaystyle K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$  — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра ${\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ конечно порождена?^[1]

Конечная порождённость алгебры инвариантов

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый формулировке для алгебры инвариантов, частному случаю конечной группы и примеру с симметрическими многочленами. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 апреля 2016 года.