WikiSort.ru - Не сортированное

Пятая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе^[1][2] на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Пятая проблема Гильберта относится к теории топологических групп преобразований и групп Ли. Для важных частных случаев решения были получены в 1933 и 1934 годах, окончательно решена в 1952 году.

Формулировка проблемы

Топологическая группа преобразований состоит из топологической группы ${\displaystyle G}$ , топологического пространства ${\displaystyle X}$ и непрерывного действия группы ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$ , которое является непрерывным отображением

${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X,(g,x)\to gx,}$

обладающим следующими двумя свойствами:

1) ${\displaystyle ex=x}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$ , где ${\displaystyle e}$  — единичный элемент из ${\displaystyle G}$ , и

2) ${\displaystyle g(g'x)=(gg')x}$ для всех ${\displaystyle g,g'\in G}$ и для всех ${\displaystyle x\in X}$ .

Топологическая группа ${\displaystyle G}$ является группой Ли, если ${\displaystyle G}$  — вещественно-аналитическое многообразие, а умножение ${\displaystyle \mu \colon G\times G\to G,(g,g')\to gg',}$  — вещественно-аналитическое отображение. Тогда, по теореме о неявной функции отображение ${\displaystyle \iota \colon G\to G,g\to g^{-1}}$ является вещественно-аналитическим. Если ${\displaystyle G}$  — группа Ли, ${\displaystyle X}$  — вещественно-аналитическое многообразие, а действие ${\displaystyle \varphi }$ группы ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$  — вещественно-аналитическое, то имеем группу вещественно-аналитических преобразований.

Пусть ${\displaystyle G}$  — локально евклидова топологическая группа. Тогда возникает вопрос о том, можно ли всегда снабдить ${\displaystyle G}$ вещественно-аналитической структурой такой, что умножение

${\displaystyle \mu \colon G\times G\to G,}$

будет вещественно-аналитическим? Этот вопрос, на который впоследствии был дан положительный ответ, и считается сегодня пятой проблемой Гильберта.^[3]

Решение проблемы

Для компактных групп пятая проблема была решена фон Нейманом^[4] в 1933 году. Для локально компактных коммутативных групп и некоторых других частных случаев проблему решил Понтрягин^[3][5][6] в 1934 году. Эти доказательства были получены с помощью результата венгерского математика Альфреда Хаара^[7] который построил на локально компактной топологической группе инвариантную меру^[8].

Центральным пунктом общего доказательства оказался вопрос о существовании «малых» подгрупп в сколь угодно малой окрестности единицы (кроме самой единицы). Группы Ли таких подгрупп не имеют. Значительный вклад в решение внёс Глизон (Глисон)^[9], доказавший, что каждая конечномерная локально компактная топологическая группа ${\displaystyle G}$ , которая не имеет малых подгрупп, является группой Ли.

Окончательное решение получении в 1952 году Монтгомери и Циппин^[en], которые доказали, что у локально связной конечномерной локально компактной топологической группы нет малых подгрупп.^[10]. Поскольку всякая локально евклидова топологическая группа является локально связной, локально компактной и конечномерной, то из этих двух результатов вытекает следующее утверждение.

Теорема. Каждая локально евклидова группа является группой Ли.

Как впоследствии показал Глушков, данная теорема допускает обобщения^[11].

Этот результат часто рассматривают как решение пятой проблемы Гильберта, но поставленный Гильбертом вопрос носил более широкий характер и касался групп преобразований ${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X}$ для случая, когда многообразие ${\displaystyle X}$ не совпадает с ${\displaystyle G}$ ^[3][12].

Ответ на общий вопрос Гильберта в случае топологических непрерывных действий оказался отрицательным даже для тривиальной группы ${\displaystyle G={e}}$ . Существуют топологические многообразия, не имеющие никакой гладкой структуры, а значит, не имеющие и вещественно-аналитической структуры^[13].

Примечания

Литература

• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз.