WikiSort.ru - Не сортированное

Первая (алгебраическая) часть

Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая n-го порядка, было определено Харнаком {Math. Ann., 10 (1876), 189—192}. <...> Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёртой степени в трёхмерном пространстве.^[1].

Оригинальный текст (нем.)

16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen. Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve n-ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} bestimmt worden; es entsteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich — freilich auf einem recht umständlichen Wege — davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben kann, keinesfalls sämtlich außerhalb von einander verlaufen dürfen, sondern daß ein Zug existiren muß, in dessen Innerem ein Zug und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel einer algebraischen Fläche im Raume — ist doch bisher noch nicht einmal bekannt, wieviel Mäntel eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886}^[2].

Вторая (дифференциальная) часть

В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов <...>, а именно, вопрос о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},}$

где X, Y — целые рациональные функции n-й степени относительно x, y, или, в однородной записи,

${\displaystyle X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0,}$

где X, Y, Z — целые рациональные однородные функции n-й степени относительно x, y, z, которые и нужно определять как функции параметра t.^[1]

Оригинальный текст (нем.)

Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in Angriff nehmen läßt, und deren Beantwortung für die Topologie der durch Differentialgleichungen definirten Curvenschaaren von entsprechender Bedeutung ist — nämlich die Frage nach der Maximalzahl und Lage der Poincaréschen Grenzcykeln (cycles limites) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}},}$

wo X, Y ganze rationale Funktionen nten Grades in x, y sind, oder in homogener Schreibweise

${\displaystyle X\left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+Y\left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\frac {dz}{dt}}\right)+Z\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0}$

wo X, Y, Z ganze rationale homogene Functionen nten Grades von x, y, z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind.^[2]

Индивидуальная теорема конечности

Первым шагом на пути к исследованию шестнадцатой проблемы Гильберта в полной общности должна была стать индивидуальная теорема конечности: полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов. Эта теорема была опубликована в 1923 году в работе французского математика Анри Дюлака^[8] и долгое время считалась доказанной.

В 1980-х годах Ю. С. Ильяшенко был обнаружен существенный пробел в доказательстве Дюлака^[9][10], и вопрос индивидуальной конечности оставался открытым до 1991—92 года, когда Ильяшенко^[11] и Экаль^[12] одновременно и независимо, используя разные подходы, дали на него положительный ответ (изложение полного доказательства потребовало от каждого из них написания отдельной книги), см. также схему нового доказательства^[13].

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый стратегии Дюлака: накопление к полициклу, разрешение особенностей и асимптотические ряды. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 11 февраля 2009 года.

Стратегия Петровского-Ландиса

Квадратичные векторые поля

Ослабленные версии проблемы

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый истории второй части: индивидуальная теорема конечности (полициклы) — Дюлак, стратегия Петровского-Ландиса, непродолжаемость, поле Ши Сонглинга, ошибка Дюлака, теорема Ильяшенко-Экаля об индивидуальной конечности, ослабленные версии, теорема Варченко-Хованского, теорема Яковеко-Новикова-Биньямини.. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 11 февраля 2009 года.