WikiSort.ru - Не сортированное

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):^[1][2]

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Функций ${\displaystyle \Phi _{q}}$ и ${\displaystyle \psi _{q,p}}$ , не считая нулевых, требуется не более ${\displaystyle (n+1)(2n+1)}$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени n>4 к виду, свободному от коэффициентов при ${\displaystyle x^{n-1}}$ , ${\displaystyle x^{n-2}}$ и ${\displaystyle x^{n-3}}$ ; для n=5 этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.^[3]. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5, 6 и 7 сводилось к решению уравнений вида

${\displaystyle x^{5}+ax+1=0}$ ,

${\displaystyle x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,}$

${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Непредставимость с сохранением класса гладкости

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый утверждению Гильберта и результатам Витушкина и Колмогорова о непредставимости. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 31 января 2017 года.

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 31 января 2017 года.

Литература

• В. И. Арнольд. Избранное-60. — М.: Фазис, 1997.
• В. И. Арнольд. О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных // Матем. сб.. — 1959. — Т. 48(90), № 1. — С. 3—74.
• А. Н. Колмогоров. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения // ДАН СССР. — 1957. — Т. 114, вып. 5. — С. 953—956.
• А. Г. Витушкин. 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы // УМН. — 2004. — Т. 59, № 1(355). — С. 11–24.
• В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• В. И. Арнольд. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — Вып. 2. — № 4. — С. 1-9.
• В. И. Арнольд. О классах когомологий алгебраических функций, сохраняющихся при преобразованиях Чирнгаузена // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — Вып. 1. — № 4. — С. 84—85.
• Г. Н. Чеботарев. К проблеме резольвент // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. — 1954. — Т. 114, № 2. — С. 189—193.
• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз.
• David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Проверено 27 августа 2009. Архивировано 8 апреля 2012 года.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.