WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера, Кронекер осуществил основную часть доказательства в 1853 году, в 1886 году Вебер и Гильберт заполнили некоторые логические пробелы. Теорема может быть доказана прямыми алгебраическими построениями, но также является простым следствием результатов теории полей классов.

Для заданного абелевого расширения ${\displaystyle K}$ поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ можно определить минимальное круговое поле, содержащее ${\displaystyle K}$ . Для заданного ${\displaystyle K}$ можно определить наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ , что ${\displaystyle K}$ является подполем, поля порождённого корнем из единицы ${\displaystyle n}$ -й степени. Например, для квадратичных полей таким числом является абсолютная величина их дискриминанта.

Вопрос распространения теоремы на произвольное числовое поле — одна из проблем Гильберта (12-я), по состоянию на 2017 год проблема остаётся нерешённой.

Ссылки

• Greenberg, M. J. (1974). “An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem”. American Mathematical Monthly. The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6. 81 (6): 601—607. DOI:10.2307/2319208.