Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид то два сравнения:
либо оба имеют решения для либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же оба имеют вид то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений[1].
Если для заданных целых чисел сравнение имеет решения, то называется квадратичным вычетом[2] по модулю , а если решений нет, то — квадратичным невычетом по модулю . С использованием этой терминологии можно квадратичный закон взаимности сформулировать следующим образом:
Если — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид то либо оба являются квадратичными вычетами по модулю друг друга, либо оба — невычеты. Если же оба имеют вид то квадратичным вычетом является одно и только одно из этих чисел — либо по модулю либо по модулю |
Пусть — целое число, — нечётное простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом.
Приведенная ниже таблица наглядно показывает, какие нечётные простые числа, не превышающие 100, являются вычетами, а какие — невычетами. Например, первая строка относится к модулю 3 и означает, что число 5 является квадратичным невычетом (Н), 7 является вычетом (В), 11 — невычетом и т. д. По таблице ясно видно, что для чисел вида (зелёные и синие клетки) все коды, симметричные им относительно главной диагонали матрицы, в точности такие же, что и означает «взаимность». Например, в клетке (5, 7) тот же код, что и в клетке (7, 5). Если же клетки соответствуют двум числам вида (жёлтые и красные клетки), то коды противоположны — например, для (11, 19).
В | q является вычетом по модулю p | q ≡ 1 (mod 4) или p ≡ 1 (mod 4) (или оба) |
Н | q является невычетом по модулю p | |
В | q является вычетом по модулю p | оба q ≡ 3 (mod 4) и p ≡ 3 (mod 4) |
Н | q является невычетом по модулю p |
q | |||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | ||
p | 3 | Н | В | Н | В | Н | В | Н | Н | В | В | Н | В | Н | Н | Н | В | В | Н | В | В | Н | Н | В | |
5 | Н | Н | В | Н | Н | В | Н | В | В | Н | В | Н | Н | Н | В | В | Н | В | Н | В | Н | В | Н | ||
7 | Н | Н | В | Н | Н | Н | В | В | Н | В | Н | В | Н | В | Н | Н | В | В | Н | В | Н | Н | Н | ||
11 | В | В | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | В | Н | Н | В | В | В | Н | В | В | Н | Н | Н | В | В | ||
13 | В | Н | Н | Н | В | Н | В | В | Н | Н | Н | В | Н | В | Н | В | Н | Н | Н | В | Н | Н | Н | ||
17 | Н | Н | Н | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | В | В | Н | В | Н | Н | Н | В | В | Н | ||
19 | Н | В | В | В | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | В | В | Н | Н | В | Н | Н | В | Н | В | Н | Н | ||
23 | В | Н | Н | Н | В | Н | Н | В | В | Н | В | Н | В | Н | В | Н | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | ||
29 | Н | В | В | Н | В | Н | Н | В | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | Н | В | В | Н | Н | В | Н | Н | ||
31 | Н | В | В | Н | Н | Н | В | Н | Н | Н | В | Н | В | Н | В | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | В | ||
37 | В | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | В | Н | Н | В | В | В | Н | В | Н | Н | ||
41 | Н | В | Н | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | В | В | Н | Н | В | В | Н | Н | В | Н | В | Н | Н | ||
43 | Н | Н | Н | В | В | В | Н | В | Н | В | Н | В | В | В | В | Н | В | Н | Н | В | В | Н | В | ||
47 | В | Н | В | Н | Н | В | Н | Н | Н | Н | В | Н | Н | В | В | В | Н | В | Н | В | В | В | В | ||
53 | Н | Н | В | В | В | В | Н | Н | В | Н | В | Н | В | В | В | Н | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | ||
59 | В | В | В | Н | Н | В | В | Н | В | Н | Н | В | Н | Н | В | Н | Н | В | Н | В | Н | Н | Н | ||
61 | В | В | Н | Н | В | Н | В | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | Н | В | ||
67 | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | В | В | Н | В | Н | Н | В | Н | В | Н | В | В | Н | В | В | Н | ||
71 | В | В | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | Н | В | Н | В | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | В | В | Н | ||
73 | В | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | Н | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | В | В | В | В | Н | В | В | ||
79 | Н | В | Н | В | В | Н | В | В | Н | В | Н | Н | Н | Н | Н | Н | Н | В | Н | В | В | В | В | ||
83 | В | Н | В | В | Н | В | Н | В | В | В | В | В | Н | Н | Н | В | В | Н | Н | Н | Н | Н | Н | ||
89 | Н | В | Н | В | Н | В | Н | Н | Н | Н | Н | Н | Н | В | В | Н | Н | В | В | В | В | Н | В | ||
97 | В | Н | Н | В | Н | Н | Н | Н | Н | В | Н | Н | В | В | В | Н | В | Н | Н | В | В | Н | В |
Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утверждает, что
где р и q — различные нечётные простые числа.
Также справедливы следующие дополнения:
и
Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру в 1783 году[3]. Лежандр сформулировал закон независимо от Эйлера и доказал его в некоторых частных случаях в 1785 году. Полное доказательство было опубликовано Гауссом в «Арифметических исследованиях» (1801 год); впоследствии Гаусс дал ещё несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.
Одно из самых простых доказательств было предложено Золотарёвым в 1872 году.[4][5][6]
В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности[7].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .