Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.
Пара называется предгильбертовым пространством, если — линейное пространство, а — определённое на скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)
Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:
В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.
Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве справедлив закон параллелограмма, то — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение такое, что .
В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом
если скалярное произведение определить как
Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .