WikiSort.ru - Не сортированное

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть ${\displaystyle L}$ есть векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ — базис в ${\displaystyle L}$ .

Функция ${\displaystyle Q:L\to K}$ называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

${\displaystyle Q(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

где ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}}$ , а ${\displaystyle a_{ij}}$ — некоторые элементы поля ${\displaystyle K}$ .

Связанные определения и свойства

• Матрицу ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ называют матрицей квадратичной формы ${\displaystyle Q(x)}$ в данном базисе. В случае, если характеристика поля ${\displaystyle K}$ не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$ . Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде

${\displaystyle Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}}$ .

• При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ) с матрицей замены ${\displaystyle C}$ матрица квадратичной формы изменяется по формуле

${\displaystyle A'=C^{T}A\,C,}$

где ${\displaystyle A'}$ — матрица квадратичной формы в новом базисе.

• Из формулы ${\displaystyle A'=C^{T}A\,C}$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг ${\displaystyle n}$ , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
• Для любой квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ существует единственная симметричная билинейная форма ${\displaystyle B}$ , такая, что ${\displaystyle Q(x)=B(x,x)}$ . Билинейную форму ${\displaystyle B}$ называют полярной к ${\displaystyle Q}$ , она может быть вычислена по формуле

${\displaystyle B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).}$

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

• Квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого ${\displaystyle x\neq 0}$ выполнено неравенство ${\displaystyle Q(x)>0}$ ${\displaystyle (Q(x)<0)}$ . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)}$ называется знакопеременной (индефинитными), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)}$ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если ${\displaystyle Q(x)\geq 0}$ ${\displaystyle (Q(x)\leq 0)}$ для любого ${\displaystyle x\in L}$ .

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

• Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Примеры

• Скалярное произведение векторов ${\displaystyle (x,y)}$ — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)=(x,x)}$ является положительно определённой, она сопоставляет вектору ${\displaystyle x}$ квадрат его длины.
• Квадратичная форма ${\displaystyle Q(x)=x_{1}x_{2}}$ на плоскости (вектор ${\displaystyle x}$ имеет две координаты: ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ ) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду ${\displaystyle x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}}$ с помощью линейной замены ${\displaystyle x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'}$ .

См. также

• Теорема Витта

Примечания

Литература

• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра (недоступная ссылка). Курс лекций.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• * Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.