WikiSort.ru - Не сортированное

Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор ${\displaystyle A}$ на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис ${\displaystyle \{e_{i}\colon i\in I\}}$ в ${\displaystyle H}$ , что

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}<\infty .}$

Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {tr} \,A^{T}\!B=\sum _{i\in I}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$

где ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

${\displaystyle \lVert A\rVert _{\mathrm {HS} }^{2}=\sum _{i\in I}\lVert Ae_{i}\rVert ^{2}.}$

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

Свойства

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на ${\displaystyle H}$ . Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на ${\displaystyle H}$ , множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle H}$ конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$

где ${\displaystyle H^{*}}$  — пространство, сопряжённое к ${\displaystyle H}$ .