WikiSort.ru - Не сортированное

Вну́тренняя то́чка мно́жества в топологии есть точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$  — топологическое пространство, с топологией ${\displaystyle T}$ , и ${\displaystyle M\subseteq X}$ . Точка ${\displaystyle x\in M}$ является внутренней для ${\displaystyle M}$ тогда и только тогда, когда существует открытое множество ${\displaystyle S\in T}$ , такое что ${\displaystyle x\in S}$ и ${\displaystyle S\subseteq M}$ .

Замечания

• Из определения сразу следует, что в открытом множестве все точки внутренние.
• Также верно и обратное: множество, все точки которого внутренние, является открытым.

Частные случаи

В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть ${\displaystyle X}$  — метрическое пространство с метрикой ${\displaystyle d}$ , и ${\displaystyle M}$  — его подмножество. Точка ${\displaystyle x\in M}$ является внутренней для ${\displaystyle M}$ тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , такое что ${\displaystyle \forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M}$ . Иначе говоря, ${\displaystyle x}$ входит в ${\displaystyle M}$ вместе с шаром радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle x}$ .

Литература

• Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ. Том 1.

См. также

• Изолированная точка
• Открытое множество
• Предельная точка
• Словарь терминов общей топологии
• ε-окрестность

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.