WikiSort.ru - Не сортированное

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ называется ограниченным сверху, если существует число ${\displaystyle b}$ , такое что все элементы ${\displaystyle X}$ не превосходят ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle \exists b\;\forall x\;(x\in X\Rightarrow x\leqslant b)}$

Множество вещественных чисел ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ называется ограниченным снизу, если существует число ${\displaystyle b}$ , такое что все элементы ${\displaystyle X}$ не меньше ${\displaystyle b}$ : ${\displaystyle \exists b\;\forall x\;(x\in X\Rightarrow x\geqslant b)}$

Множество ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок ${\displaystyle [a,b]=\{a\leqslant x\leqslant b\}}$ ,

неограниченного — множество всех целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$ ,

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч ${\displaystyle x<0}$ ,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч ${\displaystyle x>0}$ .

Вариации и обобщения

См. также

• Точная верхняя и нижняя грани