WikiSort.ru - Не сортированное

Определяя дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =L\,dx+M\,dy}$ , найдём её внешний дифференциал:

${\displaystyle d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dx+\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.}$

Принимая во внимание, что ${\displaystyle dx\wedge dx=0}$ и ${\displaystyle dy\wedge dy=0}$ :

${\displaystyle d\omega ={\underset {-{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge dx} }}+{\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}-{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.}$

Отсюда используя теорему Стокса:

${\displaystyle \int \limits _{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$

■

Рассмотрим дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz}$ . Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы ${\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{\mathrm {rot} \,F}^{2}}$ :

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\wedge dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.}$

Отсюда, используя теорему Стокса:

${\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.}$

■

Пусть ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u(t),v(t))}$ . Тогда

${\displaystyle \int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\int _{\alpha }^{\beta }((\mathbf {a} (\mathbf {r} (u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.}$

Отсюда, используя формулу Грина, получаем ${\displaystyle \int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\iint _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial u}}{(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{v})}-{\frac {\partial }{\partial v}}{(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{u})}\right]dudv={}}$

${\displaystyle {}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{u},\mathbf {r} _{v}\right)dudv-\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{v},\mathbf {r} _{u}\right)dudv}$ ${\displaystyle {}=\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r} _{u},\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r} _{u},(\mathbf {r} _{v},\nabla ),\mathbf {a} )]dudv,}$ что по определению вихря и есть требуемая величина:

${\displaystyle \iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r_{u}} ,\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r_{u}} ,(\mathbf {r_{v}} ,\nabla ),\mathbf {a} )]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\operatorname {rot} \;\mathbf {a} )dudv=\iint _{\Sigma }(\operatorname {rot} \;\mathbf {a} ,\mathbf {n} )dS.}$ ■

Рассмотрим дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy}$ . Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы ${\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{\mathrm {div} \,F}^{3}}$ :

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz.}$

Отсюда, используя теорему Стокса:

${\displaystyle \iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.}$

■