WikiSort.ru - Не сортированное

В математике гиперопера́тор — это обобщение традиционных операторов (арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно), на высшие порядки. В общем случае, из-за некоммутативности гипеоператор имеет две обратные функции — гиперкорень (например Суперкорень для 4-го порядка) и гиперлогарифм (Суперлогарифм).

История

В 1928 году ученик Давида Гильберта, математик Вильгельм Аккерман опубликовал в качестве примера всюду определённой, не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функцию от трёх аргументов ${\displaystyle \varphi (a,b,n)}$ , такую, что для ${\displaystyle n=0,1,2}$ она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

${\displaystyle \varphi (a,b,0)=a+b}$ ;

${\displaystyle \varphi (a,b,1)=a\cdot b}$ ;

${\displaystyle \varphi (a,b,2)=a^{b}}$ .

С 1976 года, после публикации стрелочной нотации Кнута, оригинальную функцию Аккермана стало возможным записать в более удобном виде:

${\displaystyle \varphi (a,b,n)=a\uparrow ^{n-1}(b+1)}$ .^[1]

Помимо её исторической роли как первой всюду определённой не примитивно рекурсивной вычислимой функции, оригинальная функция Аккермана расширяла основные арифметические операции за возведение в степень, хотя и не так хорошо, как специально предназначенные для этого функции вроде последовательности гипероператоров Гудстейна.^[2]

Определение

Гипероператор порядка ${\displaystyle n}$ с аргументами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (далее обозначаемый как ${\displaystyle a^{(n)}b}$ ) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка ${\displaystyle n-1}$ к последовательности из ${\displaystyle b}$ одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ${\displaystyle a}$ ):

• сложение ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — увеличение числа ${\displaystyle a}$ на количество единиц, равное ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle a{^{(1)}}b=a+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b}=a+b}$

• умножение ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ — сложение числа ${\displaystyle a}$ с самим собой ${\displaystyle b}$ раз: ${\displaystyle a{^{(2)}}b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}=a\times b}$
• возведение a в степень b — умножение числа ${\displaystyle a}$ на само себя ${\displaystyle b}$ раз: ${\displaystyle a{^{(3)}}b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b}=a^{b}}$
• ${\displaystyle ...}$
• ${\displaystyle a{^{(n)}}b=\underbrace {a^{(n-1)}a^{(n-1)}\dots a^{(n-1)}a} _{b}}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка ${\displaystyle n>2}$ не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle n}$ ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров ${\displaystyle n\geqslant 4}$ на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

• Кнут использует стрелки ${\displaystyle \uparrow }$ ;
• Конвей использует стрелки ${\displaystyle \to }$ .

В итоге получаем:${\displaystyle a{^{(n)}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)}$

Обобщение первых трёх операций (сложение, умножение, возведение в степень) в инфиксной форме имеет вид:

${\displaystyle a^{(n)}b=\left\{{\begin{matrix}b+1,&{\mbox{if }}n=0\\a,&{\mbox{if }}n=1,b=0\\0,&{\mbox{if }}n=2,b=0\\1,&{\mbox{if }}n\geq 3,b=0\\a^{(n-1)}(a^{(n)}(b-1))&{\mbox{if }}n\geq 1,b\geq 1,a\geq 0\end{matrix}}\right.}$

Тогда гипероператор определяется как ${\displaystyle \operatorname {hyper{\mathit {n}}} (a,b)=a^{(n)}b}$ и ${\displaystyle \operatorname {hyper} (a,n,b)=a^{(n)}b}$

Распишем для первых натуральных четырёх n:

${\displaystyle \operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b=a+b}$

${\displaystyle \operatorname {hyper2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b=a\times b}$

${\displaystyle \operatorname {hyper3} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,3,b)=a^{(3)}b=a^{b}}$

${\displaystyle \operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{2}b={}^{b}a=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}}$

Обратные операции

Как уже говорилось выше, в силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень (примем обозначения ${\displaystyle a^{\left({\frac {1}{n}}\right)}b}$ или ${\displaystyle \operatorname {hyper{\mathit {\frac {1}{n}}}} (a,b)}$ ) и гиперлогарифм (примем обозначения ${\displaystyle {\text{hyper}}n\log _{a}(b)}$ или ${\displaystyle {\text{h}}^{n}\log _{a}(b)}$ ).

В силу коммутативности, гиперкорень и гиперлогарифм сложения совпадают и образуют вместе обратную операцию сложения — вычитание:

${\displaystyle {\text{h}}^{1}\log _{a}(b)=a^{\left({\frac {1}{1}}\right)}b=a-b}$ .

Точно так же совпадают обратные операции умножения, образуя одну обратную операцию умножения — деление:

${\displaystyle {\text{h}}^{2}\log _{a}(b)=a^{\left({\frac {1}{2}}\right)}b={\frac {a}{b}}}$ .

Уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм).

Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.

Альтернативные операции

Примечания

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.

1. ↑ Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy. The first example of a recursive function which is not primitive recursive // Historia Mathematica. — 1979-11. — Т. 6, вып. 4. — С. 380–384. — ISSN 0315-0860. — DOI:10.1016/0315-0860(79)90024-7.
2. ↑ Функция Аккермана (рус.) // Википедия. — 2017-12-31.

См. также

• Возведение в степень
• Суперкорень
• Суперлогарифм

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 октября 2010 года.