WikiSort.ru - Не сортированное

Экономичность

В другом языковом разделе есть более полная статья Radix economy (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.

В цифровой технике система счисления с основанием ${\displaystyle b}$ реализуется регистрами, состоящими из наборов триггеров, каждый из которых может принимать ${\displaystyle b}$ различных состояний, кодирующих цифры числа. При этом особое значение приобретает экономичность системы счисления — возможность представления как можно большего количества чисел с использованием как можно меньшего общего количества знаков.^[1] Если количество триггеров равно ${\displaystyle r}$ , то общее количество знаков равно ${\displaystyle m=r\cdot b}$ , а количество представимых ими чисел соответственно — ${\displaystyle b^{r}=b^{\frac {m}{b}}}$ . Как функция от ${\displaystyle b}$ , это выражение достигает максимума при ${\displaystyle b}$ равном числу e = 2,718281828….^[2] При целых значениях ${\displaystyle b}$ максимум достигается для ${\displaystyle b=3}$ . Таким образом, наиболее экономичной является троичная система счисления (используемая в троичных ЭВМ), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых ЭВМ) и четверичная система счисления.

Экономичность системы счисления — немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована[3] в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.[1] С. В. Фомин

Эквивалентное описание экономичности системы счисления можно получить, используя понятие информационной энтропии. При условии равновероятности появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи n-разрядного числа в системе счисления с основанием b принимает значение ${\displaystyle n{\tfrac {\ln b}{b}}}$ (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому плотность записи (то есть, количество информации на один разряд) чисел в системе счисления с основанием b равна ${\displaystyle {\tfrac {\ln b}{b}}}$ , которая также принимает максимальное значение при b = e, а для целых значений b — при b = 3.

Перевод в десятичную систему счисления

Если число в ${\displaystyle b}$ -ичной системе счисления равно

${\displaystyle a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_{1}\;a_{0},}$

то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot b^{k}}$

или, в более наглядном виде:

${\displaystyle a_{n-1}\cdot b^{n-1}+a_{n-2}\cdot b^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0},}$

либо, наконец, в виде схемы Горнера:

${\displaystyle ((\ldots (a_{n-1}\cdot b+a_{n-2})\cdot b+a_{n-3})\ldots )\cdot b+a_{0}.}$

Например:

101100₂ =

= 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰ =

= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =

= 32 + 8 + 4 + 0 = 44₁₀

Перевод из десятичной системы счисления

Целая часть

1. Последовательно делить целую часть десятичного числа на основание, пока десятичное число не станет равно нулю.
2. Полученные при делении остатки являются цифрами нужного числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть

1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример

${\displaystyle 44_{10}}$ переведём в двоичную систему:

44 делим на 2. частное 22, остаток 0
22 делим на 2. частное 11, остаток 0
11 делим на 2. частное  5, остаток 1
 5 делим на 2. частное  2, остаток 1
 2 делим на 2. частное  1, остаток 0
 1 делим на 2. частное  0, остаток 1

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число ${\displaystyle 101100_{2}}$

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм.

Для восьмеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:

000 0 100 4
001 1 101 5
010 2 110 6
011 3 111 7

Для шестнадцатеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2⁴=16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Пример:

преобразуем 1011002
восьмеричная — 101 100 → 548
шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм-перевёртыш.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты

0 000 4 100
1 001 5 101
2 010 6 110
3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:

преобразуем
548 → 101 100
2C16 → 0010 1100

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011₂ будет выглядеть как 14,3₈ или C,6₁₆.

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную

Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,011₂ в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

${\displaystyle 0,011=0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0+0,25+0,125=0,375.}$

Итак, число 1100,011₂ = 12,375₁₀.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа переводят отдельно, а результат потом конкатенируют.

Перевод из десятичной системы в произвольную

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,625₁₀ в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103₁₀ = 1100111₂.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Итак, сверху вниз получаем число 101₂. Поэтому 103,625₁₀ = 1100111,101₂

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

Запись рациональных чисел

Рациональное число ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle b}$ -ичной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{1}a_{0},c_{1}c_{2}\ldots )_{b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}}$

где ${\displaystyle a_{k}}$  — цифры целой части (до разделителя), ${\displaystyle c_{k}}$  — цифры дробной части (после разделителя), ${\displaystyle n}$  — число разрядов целой части.

Конечной записью в ${\displaystyle b}$ -ичной системе счисления обладают только рациональные числа, представимые в виде ${\displaystyle {\frac {q}{b^{m}}}}$ , где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle q}$  — целые числа:

${\displaystyle {\frac {q}{b^{m}}}=(a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{1}a_{0},c_{1}c_{2}\ldots c_{-m})_{b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}c_{k}b^{-k},}$

где ${\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{1}a_{0})_{b}}$ и ${\displaystyle (c_{1}c_{2}\ldots c_{-m})_{b}}$ представляют ${\displaystyle b}$ -ичные записи соответственно частного и остатка от деления ${\displaystyle q}$ на ${\displaystyle b^{m}}$ .

Рациональные числа, не представимые в виде ${\displaystyle {\frac {q}{b^{m}}}}$ , записываются в виде периодических дробей.

Симметричные системы счисления

Симметричные (уравновешенные, знакоразрядные) системы счисления отличаются тем, что используют цифры не из множества ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,b-1\}}$ , а из множества ${\displaystyle \left\{0-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),1-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right),\ldots ,(b-1)-\left({\tfrac {b-1}{2}}\right)\right\}}$ . Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы ${\displaystyle b}$ было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа.^[4] Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления — оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.

Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ . Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь».

Отрицательные основания

Существуют позиционные системы с отрицательными основаниями, называемые нега-позиционными:

• -2 — нега-двоичная система счисления
• -3 — нега-троичная система счисления
• -10 — нега-десятичная система счисления

Нецелочисленные основания

Иногда также рассматривают позиционные системы счисления с нецелочисленными основаниями: рациональными, иррациональными, трансцендентными.

Примерами таких систем счисления являются:

• при b = ⅓ — система счисления с рациональным дробным основанием, позволяет на троичных реверсивных регистрах сдвига производить операции умножения и деления на целые числа ^{[источник не указан 3323 дня]},
• при b = ½ — система счисления с рациональным дробным основанием^{[источник не указан 3323 дня]},
• при b = φ = 1,61… — система счисления Бергмана с иррациональным основанием равным «золотому сечению».^[5]

Комплексные основания

Основаниями позиционных систем счисления могут быть также комплексные^[6][7] числа. При этом цифры в них принимают значения из некоторого конечного множества, удовлетворяющего условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции непосредственно с представлениями чисел в этих системах счисления.

В частности, среди позиционных систем счисления с комплексными основаниями можно выделить двоичные, в которых используются лишь две цифры 0 и 1.

Примеры

Далее будем записывать позиционную систему счисления в следующем виде ${\displaystyle \langle \rho ,A\rangle }$ , где ${\displaystyle \rho }$  — основание системы счисления, а A — множество цифр. В частности, множество A может иметь вид:

• ${\displaystyle B_{R}=\{0,1,2,\dots ,R-1\},}$
• ${\displaystyle D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\},}$ где ${\displaystyle r_{1},r_{2}\geq 0}$ и ${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}+1}$ . При ${\displaystyle r_{1}=0}$ множество ${\displaystyle D_{R}}$ превращается в множество ${\displaystyle B_{R}}$ .

Примерами систем счисления с комплексными основаниями являются (далее j — мнимая единица):

• ${\displaystyle \langle \rho =j{\sqrt {R}},B_{R}\rangle .}$ ^[7]
  • Пример: ${\displaystyle \langle \rho =\pm j{\sqrt {2}},\{0,1\}\rangle ;}$
• ${\displaystyle \langle \rho ={\sqrt {2}}e^{\pm j\pi /2},B_{2}\rangle .}$ ^[6]
  • Пример: ${\displaystyle \langle \rho =-1\pm j,\{0,1\}\rangle ;}$
• ${\displaystyle \langle \rho =2e^{j\pi /3},\{0,1,e^{2j\pi /3},e^{-2j\pi /3}\}\rangle ;}$ ^[8]
• ${\displaystyle \langle \rho ={\sqrt {R}},B_{R}\rangle ,}$ где ${\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /2{\sqrt {R}})}}$ , ${\displaystyle \beta <\min\{R,2{\sqrt {R}}\}}$  — целое положительное число, которое может принимать несколько значений при данном R;^[9]
• ${\displaystyle \langle \rho =-R,A_{R}^{2}\rangle ,}$ где множество ${\displaystyle A_{R}^{2}}$ состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle r_{m}=\alpha _{m}^{1}+j\alpha _{m}^{2}}$ , а числа ${\displaystyle \alpha _{m}\in B_{R}.}$ Например: ${\displaystyle \langle -2,\{0,1,j,1+j\}\rangle ;}$ ^[8]
• ${\displaystyle \langle \rho =\rho _{2}^{},\{0,1\}\rangle ,}$ где ${\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{1/2}&{\mbox{if}}\ m\ {\mbox{even}},\\j(-2)^{(m-1)/2m}&{\mbox{if}}\ m\ {\mbox{odd}}.\end{cases}}}$ .^[10]

Двоичные комплексные системы счисления

Ниже перечислены основания двоичных позиционных систем счисления и представления чисел 2, −2 и −1 в них:

• ${\displaystyle \rho =2}$ : ${\displaystyle 2=(10)_{\rho }}$ (система счисления с натуральным основанием);
• ${\displaystyle \rho =-2}$ : ${\displaystyle 2=(110)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -2=(10)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -1=11_{\rho }}$ (нега-позиционная система счисления);
• ${\displaystyle \rho =-\rho _{2}}$ : ${\displaystyle 2=(10100)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -2=(100)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -1=101_{\rho }}$ (система счисления с комплексным основанием);
• ${\displaystyle \rho =j{\sqrt {2}}}$ : ${\displaystyle 2=(10100)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -2=(100)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -1=(101)_{\rho }}$ (система счисления с комплексным основанием);
• ${\displaystyle \rho =-1+j}$ : ${\displaystyle 2=(1100)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -2=(11100)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -1=(11101)_{\rho }}$ (система счисления с комплексным основанием);
• ${\displaystyle \rho ={\frac {-1+j{\sqrt {7}}}{2}}}$ : ${\displaystyle 2=(1010)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -2=(110)_{\rho }}$ , ${\displaystyle -1=(111)_{\rho }}$ (система счисления с комплексным основанием).

Непоказательные системы счисления

Показательные системы счисления являются частным случаем позиционных систем счисления с показательной зависимостью. Вместо показательной зависимости могут быть другие зависимости. Например, гипероператорная позиционная система счисления

${\displaystyle {\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b= \atop {\ }}\quad {\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} \atop {b{\mbox{ times}}}}\quad {=a\to b\to 2 \atop {\ }}}$

позволяет записывать бо́льшие диапазоны чисел тем же числом знаков.