WikiSort.ru - Не сортированное

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

${\displaystyle Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

записывающийся также в виде ${\displaystyle Y=H\cdot X}$ , где ${\displaystyle X}$  — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если заметить, что подынтегральная функция ${\displaystyle H}$ есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени ${\displaystyle t}$ его среднего значения определяется поведением только до момента ${\displaystyle t}$ .

Обозначения

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}}$

Интегрирование броуновского движения

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}),}$

Процесс Ито

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$

Семимартингалы, как интеграторы

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),}$

где ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}=t}$ , ${\displaystyle \max(t_{i}-t_{i-1})\to 0}$ - последовательность разбиений интервала [0, t] с длинной подынтервалов стремящейся к нулю.

Свойства

${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$

${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$

Интегрирование по частям

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$

Лемма Ито

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{,i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{,ij}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

Мартингалы-интеграторы

Стохастическая производная

${\displaystyle \mathbb {D} _{B_{t}}S_{t}={\frac {\mathrm {d} \langle S,B\rangle _{t}}{\mathrm {d} \langle B,B\rangle _{t}}}={\frac {\mathrm {d} \langle S,B\rangle _{t}}{\mathrm {d} t}},}$

${\displaystyle \mathbb {D} _{B_{t}}\int \limits _{0}^{t}X_{s}\mathrm {d} B_{s}=X_{t},}$   and   ${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}\mathbb {D} _{B_{s}}S_{s}\mathrm {d} B_{s}=S_{t}-S_{0}-V_{t}.}$

См. также

• Винеровский процесс
• Интеграл Стратоновича

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Allouba, Hassan (2006). “A Differentiation Theory for Itô's Calculus”. Stochastic Analysis and Applications. 24: 367–380. DOI 10.1080/07362990500522411.
• Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
• He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
• Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
• Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
• Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.

Эта статья или раздел содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, закончив перевод. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне.