WikiSort.ru - Не сортированное

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle \chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)}$ , где ${\displaystyle E}$  — единичная матрица, является многочленом от ${\displaystyle \lambda }$ , который называется характеристическим многочленом матрицы ${\displaystyle A}$ (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение ${\displaystyle Av=\lambda v}$ имеет ненулевое решение, то ${\displaystyle (A-\lambda E)v=0}$ , значит матрица ${\displaystyle A-\lambda E}$ вырождена и её определитель ${\displaystyle \det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )}$ равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу ${\displaystyle A-\lambda E}$ называют характеристической матрицей матрицы ${\displaystyle A}$ .
• Уравнение ${\displaystyle \chi (\lambda )=0}$ называют характеристическим уравнением матрицы ${\displaystyle A}$ .
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Свойства

• Для матрицы ${\displaystyle n\times n}$ характеристический многочлен имеет степень ${\displaystyle n}$ .
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если ${\displaystyle \chi (\lambda )}$  — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle \chi (A)=0}$ .
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: ${\displaystyle \chi _{ABA^{-1}}=\chi _{B}}$ .
• Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$  — две матрицы ${\displaystyle n\times n}$ , то ${\displaystyle \chi _{AB}\,=\,\chi _{BA}}$ . В частности, отсюда вытекает, что след их произведения ${\displaystyle \mathrm {tr} \,(AB)=\mathrm {tr} \,(BA)}$ и ${\displaystyle \det(AB)=\det(BA)}$ .
• В более общем виде, если ${\displaystyle A}$  — матрица ${\displaystyle m\times n}$ , а ${\displaystyle B}$  — матрица ${\displaystyle n\times m}$ , причем ${\displaystyle m<n}$ , так, что ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$  — квадратные матрицы размеров ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно, то:

${\displaystyle \chi _{BA}(\lambda )\,=\,\lambda ^{n-m}\,\chi _{AB}(\lambda )}$ .

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.