WikiSort.ru - Не сортированное

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского^[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство ${\displaystyle L}$ со скалярным произведением ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle }$ . Пусть ${\displaystyle \|x\|}$  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ${\displaystyle \|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L}$ . Тогда для любых ${\displaystyle x,\;y\in L}$ имеем:

${\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ пропорциональны (коллинеарны).

Примеры

• Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

${\displaystyle \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{a_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{{a_{i}}^{2}}}$

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей ${\displaystyle l^{2}}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),}$

где ${\displaystyle {\bar {y}}_{k}}$ обозначает комплексное сопряжение ${\displaystyle y_{k}}$ .

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций ${\displaystyle L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}$

где ${\displaystyle \mathrm {cov} }$ обозначает ковариацию, а ${\displaystyle \mathrm {D} }$  — дисперсию.

• Для двух независимых случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\displaystyle \mathbf {M} \left[\eta \cdot \xi \right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2}\right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.}$

Доказательство

• Если ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,}$ то ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} }$ верно следующее

${\displaystyle 0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .}$

Значит, дискриминант многочлена ${\displaystyle \lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle }$ неположительный, то есть

${\displaystyle D=4(\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.}$

Следовательно,

${\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.}$

• Если ${\displaystyle \operatorname {Im} \langle x,y\rangle \neq 0,}$ то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде ${\displaystyle \langle x,y\rangle =re^{i\phi }.}$

Определим вектор ${\displaystyle z=e^{-i\phi }x.}$ Тогда

${\displaystyle \langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R} }$ и

${\displaystyle \langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle .}$

К скалярному произведению ${\displaystyle \langle z,y\rangle \in \mathbb {R} }$ применим результат первого пункта доказательства.

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|.}$

Примечания