WikiSort.ru - Не сортированное

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу ${\displaystyle A}$ , что ${\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}$ .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

${\displaystyle A=A^{T}}$

Примеры

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}$

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

${\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: ${\displaystyle A=QDQ^{T}}$ , где ${\displaystyle Q}$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение ${\displaystyle \lambda }$ , то она имеет диагональный вид: ${\displaystyle A=\lambda E}$ , где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица, в любом базисе.

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица ${\displaystyle A}$ размерностью ${\displaystyle k\times k}$ называется положительно определённой если ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \}}$ выполняется ${\displaystyle z^{T}Az>0.}$
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.