WikiSort.ru - Не сортированное

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Определение

Квадратная матрица ${\displaystyle D=(d_{ij})}$ , где ${\displaystyle d_{ij}=0}$ для всяких ${\displaystyle i\neq j}$ , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}\end{bmatrix}},}$

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение

Диагональная матрица ${\displaystyle D}$ c элементами ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})}$ , стоящими на главной диагонали, обозначается следующим образом:

${\displaystyle D=\mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}}$ .

Свойства

• Диагональная матрица является симметричной:

${\displaystyle D^{T}=D}$ .

• Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
• Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

${\displaystyle \mathrm {det} \,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}}$ .

• Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть

${\displaystyle D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j;\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j.\end{cases}}}$

• Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}},}$

Примеры

Нулевая матрица

${\displaystyle 0=\mathrm {diag} \,\{0,0,\dots ,0\}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}},}$

и единичная матрица

${\displaystyle E=\mathrm {diag} \,\{1,1,\dots ,1\}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},}$

представляют собой простейшие примеры диагональных матриц.

Скалярная матрица является диагональной матрицей, у которой все элементы главной диагонали равны:

${\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}}$

Приведение к диагональной форме

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме.

Литература

• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Единичная матрица
• Список матриц

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.