WikiSort.ru - Не сортированное

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.

Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве ${\displaystyle \mathbb {L} }$ над полем комплексных чисел называется функция ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,}$ удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) (линейность скалярного произведения по первому аргументу)

${\displaystyle \forall ~x_{1},x_{2},y\in \mathbb {L} }$ и ${\displaystyle \forall ~\alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ справедливы равенства:

${\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle ,}$

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально)

• 2) (эрмитовость скалярного произведения)

${\displaystyle \forall ~x,~y\in \mathbb {L} }$ справедливо равенство ${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$ ,

• 3) (положительная определенность скалярного произведения)

${\displaystyle \forall ~x\in \mathbb {L} }$ имеем ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {\mathbb {R} } }$ и ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0,}$ причем ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ только при ${\displaystyle x=0}$ .

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная эрмитова форма ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} }$ .

Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {R} }$ .

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.