WikiSort.ru - Не сортированное

Псевдоскалярным^[1] или косым произведением векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ на плоскости называется число

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta ,}$

где ${\displaystyle \theta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$  — угол вращения (против часовой стрелки) от ${\displaystyle \mathbf {a} }$ к ${\displaystyle \mathbf {b} }$ . Если хотя бы один из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ нулевой, то полагают ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0}$ . Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение.

Свойства

• Линейность: ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge (\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} )=\lambda \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mu \mathbf {a} \wedge \mathbf {c} .}$ Здесь ${\displaystyle \lambda }$ , ${\displaystyle \mu }$  — произвольные вещественные числа.
• Антикоммутативность: ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} }$ .
• ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$ является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
• Псевдоскалярное произведение ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$  — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ .
  • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения ${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |}$  — это площадь такого параллелограмма.
  • Ориентированная площадь треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ выражается формулой

    ${\displaystyle S(A,B,C)={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}),}$

  а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.

• Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то

  ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,}$

где «${\displaystyle \times }$ » и «${\displaystyle \ \cdot }$ » соответственно — векторное и скалярное произведение, а ${\displaystyle \mathbf {n} }$  — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором ${\displaystyle \mathbf {n} }$ , образует также правый базис; в противном случае минус.

• ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\mathbf {0} }$  — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением.
• Из линейности и антикоммутативности следует, что если на плоскости задан ортонормированный базис ${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle ,~~\angle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})={\tfrac {\pi }{2}},}$ и два вектора, имеющих в нём координаты ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2}),~~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}),}$ то их псевдоскалярное произведение равно определителю

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}}$

• Это выражение также можно записать через символ Леви-Чивиты в двумерном пространстве:

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\sum _{i,\;j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}}$

См. также

• Внешнее произведение
• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение

Примечания