WikiSort.ru - Не сортированное

${\displaystyle QR}$ -разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма.

Определение

Матрица ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ с комплексными элементами может быть представлена в виде:

${\displaystyle A=QR,}$

где ${\displaystyle Q}$  — унитарная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ , а ${\displaystyle R}$  — верхнетреугольная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ .

В частном случае, когда матрица ${\displaystyle A}$ состоит из вещественных чисел, ${\displaystyle Q}$ является ортогональной матрицей (то есть ${\displaystyle Q^{T}Q=I}$ , где ${\displaystyle I}$  — единичная матрица).

По аналогии, можно определить варианты этого разложения: ${\displaystyle QL}$ -, ${\displaystyle RQ}$ -, и ${\displaystyle LQ}$ -разложения, где ${\displaystyle L}$  — нижнетреугольная матрица.

Свойства

Если ${\displaystyle A}$  — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное ${\displaystyle QR}$ -разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы ${\displaystyle R}$ должны быть положительными вещественными числами.

Алгоритмы

${\displaystyle QR}$ -разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.

Альтернативные алгоритмы для вычисления ${\displaystyle QR}$ -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.