WikiSort.ru - Не сортированное

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транспони́рованная ма́трица — это матрица ${\displaystyle A}$ ^* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы ${\displaystyle A}$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Определение и обозначения

Если исходная матрица ${\displaystyle A}$ имеет размер ${\displaystyle m\times n}$ , то эрмитово-сопряжённая к ${\displaystyle A}$ матрица ${\displaystyle A^{*}}$ будет иметь размер ${\displaystyle n\times m,}$ а её ${\displaystyle (i,j)}$ -й элемент будет равен:

${\displaystyle \left(A^{*}\right)_{ij}={\overline {A_{ji}}},}$

где ${\displaystyle {\overline {z}}}$  обозначает комплексно-сопряжённое число к ${\displaystyle z}$ (сопряжённое число к ${\displaystyle a+bi}$ есть ${\displaystyle a-bi}$ , где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$  — вещественные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как ${\displaystyle A^{*}}$ или ${\displaystyle A^{H}}$ (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

• ${\displaystyle A^{\dagger }}$  — в квантовой механике;
• ${\displaystyle A^{+}}$ — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
• ${\displaystyle {\overline {A}}^{\text{T}}}$ .

Пример

Если

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}}$

тогда

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}.}$

Связанные определения

Если матрица ${\displaystyle A}$ состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

${\displaystyle A^{*}=A^{T},}$ если ${\displaystyle a_{ij}\in \mathbb {R} .}$

Квадратная матрица ${\displaystyle A}$ называется:

• эрмитовой, если ${\displaystyle A^{*}=A}$ ;
• антиэрмитовой или косоэрмитовой, если ${\displaystyle A^{*}=-A}$ ;
• нормальной, если ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$ ;
• унитарной, если ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}=I}$ , где ${\displaystyle I}$  — единичная матрица.

Свойства

• ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$ для любых двух матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одинаковых размеров.
• ${\displaystyle (cA)^{*}={\overline {c}}A^{*}}$ для любого комплексного скаляра ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ .
• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$ для любых матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , таких, что определено их произведение ${\displaystyle AB}$ . Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
• ${\displaystyle (A^{*})^{*}=A}$ для любой матрицы ${\displaystyle A}$ .
• Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
• ${\displaystyle A}$ обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица ${\displaystyle A^{*}}$ . При этом:

  ${\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}$

• ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ для любой матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ и любых векторов ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ . Обозначение ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
• Матрицы ${\displaystyle AA^{*}}$ и ${\displaystyle A^{*}A}$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы ${\displaystyle A}$ (необязательно квадратной). Если ${\displaystyle A}$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

См. также

• Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.