Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени , и нет элементов матрицы степени большей чем , то — степень λ-матрицы.
Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде:
В случае если определитель матрицы отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной.
Пример:
Отметим, что матрица нерегулярна.
λ-матрицы одного и того же ранга можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица.
Пусть и — λ-матрицы порядков и соответственно, и , тогда
где хотя бы одна из матриц — ненулевая, имеем
Предположим, что — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы с или со степенью , меньшей степени , что
В этом случае называется правым частным при делении на , а — правым остатком. Подобно этому и — левое частное и левый остаток при делении на , если
и или степень меньше степени .
Если правый (левый) остаток равен 0, то называется правым (левым) делителем при делении на .
Если — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении на существуют и единственны. |
Этот раздел не завершён. |
Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное
поэтому мы определяем правое значение λ-матрицы в матрице как
и левое значение как
и в общем случае .
Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов:
Теорема Безу для λ-матриц Правым и левым остатком от деления λ-матрицы на , где — единичная матрица является и соответственно. |
Разложение на множители
может быть непосредственно проверено выполнением раскрытия скобок. Умножим обе части этого равенства на слева и сложим все полученные равенства при . Правая часть полученного равенства будет иметь вид , где — некоторая λ-матрица.
Левая часть равенства
Таким образом
Результат теперь следует из единственности правого остатка.
Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного на справа и суммированием.
Следствие Чтобы λ-матрица делилась без остатка на справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы .
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .