WikiSort.ru - Не сортированное

Транспонированная матрица — матрица ${\displaystyle A^{T}}$ , полученная из исходной матрицы ${\displaystyle A}$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы ${\displaystyle A}$ размеров ${\displaystyle m\times n}$  — матрица ${\displaystyle A^{T}}$ размеров ${\displaystyle n\times m}$ , определённая как ${\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}$ .

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• ${\displaystyle (A^{T})^{T}=A}$

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• ${\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}$

При транспонировании можно выносить скаляр.

• ${\displaystyle \det A=\det A^{T}}$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle S^{T}=S}$ .

Для того чтобы матрица ${\displaystyle S}$ была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица ${\displaystyle S}$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть ${\displaystyle S_{ij}=S_{ji}}$ .

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle A^{T}=-A}$ .

Для того чтобы матрица ${\displaystyle A}$ была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица ${\displaystyle A}$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть ${\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}$ .

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: ${\displaystyle A_{ii}=0}$ .

Для любой квадратной матрицы ${\displaystyle M}$ имеется представление ${\displaystyle M=S+A}$ ,

где ${\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}}$  — симметричная часть, ${\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}}$  — антисимметричная часть.

См. также

• Сопряжённо-транспонированная матрица

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.