WikiSort.ru - Не сортированное

Конечномерные пространства^[2]

• Сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{*}}$ имеет ту же размерность, что и пространство ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle F}$ . Следовательно, пространства ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ изоморфны.
• Каждому базису ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n}}$ пространства ${\displaystyle E}$ можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ пространства ${\displaystyle E^{*}}$ , где функционал ${\displaystyle e_{i}}$  — проектор на вектор ${\displaystyle e^{i}}$ :

${\displaystyle e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i},\quad \forall x\in E.}$

• Если пространство ${\displaystyle E}$ евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением

${\displaystyle v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.}$

• Второе сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{**}}$ изоморфно ${\displaystyle E}$ . Более того, существует канонический изоморфизм между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{**}}$ (при этом не предполагается, что пространство ${\displaystyle E}$ евклидово), определённый соотношением

${\displaystyle x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall x\in E,\ \forall f\in E^{*}.}$

• Определенный выше канонический изоморфизм ${\displaystyle E\to E^{**}}$ показывает, что пространства ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для ${\displaystyle x\in E,\ f\in E^{*}}$ часто пишут ${\displaystyle f(x)=(x,f)}$ подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства

• Если векторное пространство ${\displaystyle E}$ нормированное, то сопряжённое пространство ${\displaystyle E^{*}}$ имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство ${\displaystyle E^{*}}$  — банахово^[3][1].

• Если пространство ${\displaystyle E}$ гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle E^{*}}$ , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства ${\displaystyle E}$ ^[4].

• Сопряжённым к пространству ${\displaystyle L^{p}}$ , ${\displaystyle 1<p<\infty }$ , является пространство ${\displaystyle L^{q}}$ , где ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ . Аналогично, сопряжённым к ${\displaystyle l^{p}}$ , ${\displaystyle 1<p<\infty }$ , является ${\displaystyle l^{q}}$ с тем же соотношением между p и q.