WikiSort.ru - Не сортированное

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году^[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым^[2]. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций^[3]. Соболев и Шварц являются создателями теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике^[4][5].

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений^[6].

Определение

Формально обобщённая функция ${\displaystyle f}$ определяется как линейный непрерывный функционал ${\displaystyle \left(f,\varphi \right)}$ над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» ${\displaystyle \varphi }$ (так называемых основных функций): ${\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )}$ ^[7].

Условие линейности: ${\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)}$ .

Условие непрерывности: если ${\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0}$ , то ${\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0}$ .

Важным примером основного пространства является пространство ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$  — совокупность финитных ${\displaystyle C^{\infty }}$ -функций на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они ${\displaystyle C^{\infty }}$ -сходятся.

Сопряжённое пространство к ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ есть пространство обобщённых функций ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Сходимость последовательности обобщённых функций из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ определяется как слабая сходимость функционалов из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ , то есть ${\displaystyle f_{n}\to f}$ , в ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ означает, что ${\displaystyle (f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )}$ , для любой ${\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Для того, чтобы линейный функционал ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ был обобщённой функцией, то есть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества ${\displaystyle \Omega }$ существовали числа ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle m}$ такие, что

${\displaystyle |(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{C^{m}}}$

для всех ${\displaystyle \varphi }$ с носителем в ${\displaystyle \Omega }$ .

Если в неравенстве число ${\displaystyle m}$ можно выбрать не зависящим от ${\displaystyle \Omega }$ , то обобщённая функция ${\displaystyle f}$ имеет конечный порядок; наименьшее такое ${\displaystyle m}$ называется порядком ${\displaystyle f}$ .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f\varphi .}$

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями ${\displaystyle f(x)}$ по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ совпадает в ${\displaystyle \Omega }$ с локально суммируемой в ${\displaystyle \Omega }$ функцией ${\displaystyle f_{0}(x)}$ , если

${\displaystyle (f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )}$

для всех ${\displaystyle \varphi }$ с носителем в ${\displaystyle \Omega }$ . В частности, при ${\displaystyle f_{0}=0}$ получается определение того, что обобщённая функция ${\displaystyle f}$ обращается в нуль внутри ${\displaystyle \Omega }$ .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции ${\displaystyle f}$ и обозначается ${\displaystyle \mathrm {supp} \,f}$ . Если ${\displaystyle \mathrm {supp} \,f}$ компактен, то обобщённая функция ${\displaystyle f}$ называется финитной.

Примеры

• Любая локально конечная мера ${\displaystyle \mu }$ определяет обобщённую функцию ${\displaystyle f_{\mu }}$

${\displaystyle (f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).}$

В частности,

• Примером сингулярной обобщённой функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ служит ${\displaystyle \delta }$ -функция Дирака

${\displaystyle (\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).}$

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке ${\displaystyle x=0}$ . ${\displaystyle \delta }$ -функция имеет порядок 1.

• Поверхностная ${\displaystyle \delta }$ -функция. Пусть ${\displaystyle S}$  — кусочно гладкая поверхность и ${\displaystyle \lambda }$  — непрерывная функция на ${\displaystyle S}$ . Обобщённая функция ${\displaystyle f_{S,\;\lambda }}$ определяется равенством

${\displaystyle (f_{S,\;\lambda },\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .}$

При этом ${\displaystyle f_{S,\;\lambda }}$  — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности ${\displaystyle S}$ с поверхностной плотностью ${\displaystyle \lambda }$ (плотность простого слоя).

• Обобщённая функция ${\displaystyle \rho \in D'(\mathbb {R} )}$ определяемая равенством

${\displaystyle (\rho ,\;\varphi )=\operatorname {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx}$

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ${\displaystyle \rho }$ сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ она регулярна и совпадает с ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ .

Операции

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Свойства

• Пространство ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  — полное: если последовательность обобщённых функций ${\displaystyle f_{i}}$ из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ такова, что для любой функции ${\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$ числовая последовательность ${\displaystyle (f_{i},\;\varphi )}$ сходится, то функционал

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\lim _{i\to \infty }(f_{i},\;\varphi )}$

принадлежит ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ .

• Всякая ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ есть слабый предел функций из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения ${\displaystyle af}$ , где ${\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ .
• Всякая обобщённая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle S'(\mathbb {R} ^{n})}$ или ${\displaystyle E'(\mathbb {R} ^{n})}$ есть некоторая частная производная от непрерывной функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Для любой обобщённой функции ${\displaystyle f}$ порядка ${\displaystyle N}$ с носителем в точке 0 существует единственное представление ${\displaystyle (f,\;\varphi )}$ в виде линейной комбинации частных производных ${\displaystyle \varphi }$ в нуле, с порядком меньшим либо равным ${\displaystyle N}$ .

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\,dp=2\pi \delta (x).}$

Примечания

См. также

• Спор о струне