WikiSort.ru - Не сортированное

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

где U^∗ — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. U сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве, ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}$
2. U — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. U сохраняет скалярное произведение, и
2. образ U — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Образ U — плотное множество. Очевидно, что U⁻¹ = U^∗.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

где I единичный элемент.^[1]

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор ${\displaystyle {\hat {H}}}$ эрмитов, то оператор ${\displaystyle {\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})}$ унитарен.

Примеры

• Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора.
• Вращения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .
• В векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел умножение на число с модулем ${\displaystyle 1}$ , то есть число вида ${\displaystyle e^{i\theta }}$ для ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ , является унитарным оператором. ${\displaystyle \theta }$ называется фазой. Можно заметить, что значение ${\displaystyle \theta }$ , кратное ${\displaystyle 2\pi }$ , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ топологически эквивалентно окружности.

Свойства

• Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$ , для некоторого пространства с мерой (${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \mu }$ ). Из ${\displaystyle UU^{*}=I}$ следует ${\displaystyle |f(x)|^{2}=1}$ .

Унитарные преобразования в физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Литература

• Унитарное оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).

Примечания