WikiSort.ru - Не сортированное

Импликация
Не больше, IMPLY
Диаграмма Венна
Определение	${\displaystyle x\rightarrow y}$
Таблица истинности	${\displaystyle (1011)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\displaystyle {\overline {x}}+y}$
Конъюнктивная	${\displaystyle {\overline {x}}+y}$
Полином Жегалкина	${\displaystyle 1\oplus x\oplus xy}$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.

Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка ${\displaystyle \Rightarrow }$ следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами^[1][2]:

• посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
• следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы^[3].

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением^[4].

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$ . Результат также принадлежит множеству ${\displaystyle \{0,1\}}$ . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений ${\displaystyle 0,1}$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ${\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} }$ или ${\displaystyle F,T}$ или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация ${\displaystyle A\to B}$ это сокращённая запись для выражения ${\displaystyle \neg A\lor B}$ .

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.)русск., материальный кондиционал (англ.)русск.)

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\to b,a\leqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\leqslant b}$ , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).

В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.)русск. (от b к a, ${\displaystyle A\lor (\neg B)}$ )

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\leftarrow b,a\geqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\geqslant b}$ , то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \lnot (a\to b),a>b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a>b}$ , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.)русск. (${\displaystyle \lnot A\land B}$ ), разряд займа в двоичном полувычитателе.

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \lnot (a\leftarrow b),a<b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a<b}$ , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдет Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А

Многозначная логика

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 ноября 2016 года.

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ${\displaystyle \Rightarrow }$ , и ей соответствует вложение множеств: пусть ${\displaystyle A\subset B}$ , тогда

${\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}$

Например, если ${\displaystyle A}$  — множество всех квадратов, а ${\displaystyle B}$  — множество прямоугольников, то, конечно, ${\displaystyle A\subset B}$ и

(a — квадрат) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации ${\displaystyle A\rightarrow B}$ формуле ${\displaystyle \neg A\lor B}$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ${\displaystyle \neg (A\land \neg B)}$ , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде ${\displaystyle A\rightarrow \nvDash }$ , где ${\displaystyle \nvDash }$  — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:

 if (выражение A) {
    if (выражение B) {
       сделать_что-то_полезное
    } else {
       сбой
    }
 }

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

 if (выражение A) and (выражение B) {
    сделать_что-то_полезное
 }

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder)^{[прояснить]} проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор.

 //выражение A - ложно
 if (выражениеA ) {
    // Дальше проверка не идёт
    ... if (выражение B) {
       сделать_что-то_полезное
    } ...
 }

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

Ссылки

• Импликация и эквивалентность

Примечания

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
• Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.

В данной статье имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.