WikiSort.ru - Не сортированное

Тожде́ственное отображе́ние в математике — отображение, переводящее аргумент в себя.

Тождественное отображение часто обозначается в виде ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$ .

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$  — произвольное множество. Тогда тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)}$ множества ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle X}$ представляет собой функцию, такую что ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$ .

Свойства

• Пусть ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ — произвольная функция. Тогда
      ${\displaystyle F\circ \mathrm {id} _{X}=F}$ ,
      ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F}$ ,
  где ${\displaystyle \circ }$ обозначает композицию функций.
• В частности, ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ является нейтральным элементом
  • моноида, образованного отображениями из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$ ;
  • симметрической группы перестановок множества X.
• Пусть ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ — биекция, и ${\displaystyle F^{-1}}$ — её обратная функция. Тогда
      ${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$ ,
      ${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}$ .