WikiSort.ru - Не сортированное

Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Определение

Неассоциативное кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a, b, c ∈ R:

1. ${\displaystyle a+b=b+a}$  — коммутативность сложения;
2. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$  — ассоциативность сложения;
3. ${\displaystyle \exists 0\in R\ \left(a+0=0+a=a\right)}$  — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. ${\displaystyle \forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)}$  — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(b+c)\times a=b\times a+c\times a\end{matrix}}\right.}$  — дистрибутивность.

Иными словами, не обязательно ассоциативное кольцо — это универсальная алгебра (R, +, ×), такая что алгебра (R, +) — абелева группа, и операция × дистрибутивна слева и справа относительно +.

Кольцо, в котором операция умножения обладает свойством альтернативности, называется альтернативным.

Свойства

Даже если кольцо имеет единицу, не работает привычное понятие обратимого элемента: обратный может существовать с одной стороны и отсутствовать с другой, могут существовать с обеих сторон но быть разными, или существовать различные односторонние обратные к одному элементу. Также, наличие каких-либо обратных не гарантирует, что элемент не делит нуль, и не сохраняется при перемножении.

Аналогично обычным кольцам, неассоциативное кольцо можно рассмотреть как неассоциативную алгебру над кольцом целых чисел.

Примеры

• Собственно кольца удовлетворяют вышеприведённому Определению.
• Алгебры (не обязательно ассоциативные) над полем или над кольцом.
• Алгебры Ли (и аналогично определяемые «кольца Ли», см. замечание выше)
• Йордановы алгебры (и аналогично определяемые «йордановы кольца», см. замечание выше)
• «Полуполя» (англ. semifields), то есть неассоциативные кольца с делением (формально говоря, ненулевые элементы «полуполя» образуют квазигруппу по умножению).

Ссылки

• Неассоциативное кольцо — статья из Математической энциклопедии